直播回顾：学而思名师解析2020年高考数学真题

　　2020年高考落下帷幕。高考数学向来是备受考生吐槽的科目，今年高考结束后，微博网友依旧是各式各样的花式吐槽。那么，今年高考数学的难度究竟如何呢？相比往年又有哪些变化呢？高一高二的考生在备战高考数学时要吸取哪些经验呢？

　　7月8日晚上20：00，新浪教育特约学而思高考数学名师问延炜做客新浪直播间，在高考数学结束后第一时间与广大考生和家长聊聊2020高考数学真题，并做权威解读和分析，同时给未来的高考学生提供实用的方法和技巧。

　　以下为直播访谈实录：

　　名师解析2020高考数学——学而思问延炜

　　主持人：欢迎新浪及新浪微博的网友收看新浪教育的《高考直播间》，我是主持人李敦煌东煌。

　　2020年全国高考在昨天正式拉开帷幕，1071万考生走进考场，开启人生大考。今年因为疫情影响，高考延期到七月进行。继上海、浙江之后，北京、山东、天津、海南等省份将进行新高考改革方案下的第一次高考。对于广大考生来说，2020年的高考将是一份特殊的记忆。

　　作为全国人民共同关注的年度大考，每一年的高考都牵动着无数人的心。为了帮助今年的高考生深入了解真题，精准估分，同时帮助在校高中生了解高考命题趋势。

　　今天我们邀请到了来自学而思的资深数学老师问延炜老师，来为我们深度解析2020年高考数学。学而思网校，每天进步一点点。欢迎问老师

　　问延炜：敦煌东煌你好，各位朋友大家好。

　　主持人：请问老师先给我们做一个自我介绍。

　　问延炜：好。我叫问延炜，是学而思网校高中数学老师，人称称问问哥。我毕业于北师大数学系，毕业之后我在钱学森先生的母校北师大附中任教过4年，中间有一年是教过现在非常当红的一位明星，2005年开始我来到学而思迄今已经15年，在这15年里面问老师还是教授过许多非常优秀的同学，跟这些优秀的同学一起，我也是一直在进步成长，学而思网校每天进步一点点。

　　主持人：问老师就在昨天，高考的数学也刚刚落下帷幕，针对今年各个地区数学的考试，您认为它的整体难度较往年有没有什么变化呢？

　　问延炜：难度跟往年相比变化不大，非常平稳，略微有点下降，当然了，这是总的来说稳中有降。具体来讲，可能每个人的主观感受，尤其是考生的感受可能未必如此，还有就是全国有很多套试卷，具体到某一套试卷它跟往年相比是略难了一点还是略微简单一点呢？这个也不可一概而论。

　　主持人：确实是这样的。因为您是老师，针对今年的这些数学的题目，您认为在出题的思路方面有没有什么变化呢？

　　问延炜：今年不管是哪份试卷都是很好的秉承了教育部考试中心提出的“一核四翼四层”的原则，注重考查核心概念、核心能力，没有偏难怪题，同时它也结合社会时事实事，科技热点，比如说新冠疫情，以它为背景的题毫无悬念会出现。，然后联系中国传统文化，像大家可能都知道的网红题“金字塔”、，“天坛”，就像这样的题。

　　主持人：其实也就是说从出题角度来看并没有一些疑难怪题，更多是贴近于学生包括咱们中国的一些传统文化，包括名胜古迹这些方面的题，较之往年的话有一些趣味性，是这样吗？

　　问延炜：对。

　　主持人：有请问老师针对今年一些题目进行一下讲解。

　　问延炜：好，咱们就请看大屏幕。今天问老师带大家一起来看几道2020年高考的数学题，这是我的新浪微博，朋友们可以关注一下。

　　主持人：问老师这个头像很帅。

　　问延炜：谢谢。

　　主持人：本人更帅。

　　问延炜：今天我大概讲一个小时，目录已经在这儿了，我分三块来讲，先讲一讲函数思想的应用，然后讲一讲压轴题之圆锥曲线，最后再讲一讲压轴题之导数。

　　主持人：看来今天问老师是倾囊相授了。因为据我所知，每年数学高考，不管是那个地方的卷子，它的压轴题永远都是在导数和圆锥曲线之间做一个抉择，当然最终一定会是这两个当中的一个。

　　问延炜：大部分年份是。

　　主持人：大部分年份是，而且这个导数好像也是很多高考生非常头疼的问题。

　　问延炜：没错，今年全国1、2、3卷最后一题全都是导数。

　　主持人：我们赶快进入试题的讲解。

　　问延炜：在正式讲解之前，先提醒各位同学，今天问老师选的题目难度比较大，我怕选简单的题目，镜头前的朋友觉得不过瘾睡着了，所以我今天特意选了全国1、2、3卷里面难度比较大的一些题，小马扎搬好，做好准备。另外今天我在讲解的时候会介绍一些题目背后的东西，那些东西并不要求各位同学都去掌握它，那我想展现的是什么呢？我想展现的是作为一名老师，我在拿到这道题目的时候我会怎么想，我看到了哪些，然后我会以一种什么样的方式呈现给同学。

　　主持人：也就是我们常说的用出题人的思路去思考问题。

　　问延炜：对。要给学生一碗水，老师得有一桶水，我今天就想展现一下背后的一些东西。

　　主持人：您的这桶水有多多？

　　问延炜：可能只有半桶。

　　主持人：您谦虚。

　　问延炜：今天的很多问题我只写了解题思路，不是完整的答题步骤，详细的步骤还是留给镜头前的各位同学，相信同学们是能把它补充完整的。那我们就开始了。

　　第一部分，咱们先来个开胃菜，说一说函数思想的应用。这是全国二卷选择的倒数第二题，会有一定的难度。这个题拿到手的话，首先给我们的感觉是不是有点麻烦？二元的一个问题，它两个变量。

　　主持人：对，而且我看这里面还有两个字母。

　　问延炜：对，这个是让我们感觉发怵的地方，是吧？

　　主持人：对。

　　问延炜：那破解的关键就是一个项达到分离变量的目的，你把Xx和Yyy分开，然后你要看到2x-3-x的X次方减去3的负X次方，这是左边。然后右边2y-3-y 2的Y次方减去3的负Y次方，左右两边的结构是不是完全一样？然后咱们是不是应该想到函数，这个时候果断构造函数f（t），这个函数利用它的单调性不就顺利解决了嘛。所以看上去一个二元变量的问题其实到最后是一个一元函数问题，函数是高中数学特别重要的一条线。

　　主持人：非常重要。

　　问延炜：所以在考试的时候这也是重点考查的内容。

　　主持人：一定要带着函数的思想去考虑问题。

　　问延炜：完全正确，这是题目一。咱们接着看下一个问题，下一个问题是1卷选择的最后一题，刚才是选择倒数第二题，这是选择最后一题，这个位置不一样。

　　主持人：这两道题看着有点像。

　　问延炜：对，敦煌东煌的确是学霸。我把这两道题放在一起就是因为难度略有变化，但是核心思想是一样的，还是合理构造函数，当然了这样一个问题构造造函数，这个难度要稍微再大一些，对于同学们观察能力、思考能力都有进一步进步的要求。

　　主持人：对，毕竟是最后一道题，压轴的选择题。

　　问延炜：是。那我们来看，第一步构造函数其实是事后诸葛亮，写下来的时候我是这么写，其实老师们在思考的时候首先想的是下一行，就是那个行间公式。我首先想的是这个式子式字左右两边是有关系的，左边是2a+log2a，右边是4b+2log4b，它两边不一样，咱适当做个放缩放松，各位朋友可以看到，它小于什么呢？它小于22b2的2b，加上log22b的2b的对数，写到这一步之后，我们就反应反映过来，这跟刚才那个题目1思路是不是一样？它多一步就显得难一点，不过核心要点都是把这个二元的问题看成是一元函数问题，然后用函数的思想方法去解决它。当然了，这个题目我后面还有一些没有呈现出来的，是要留给各位同学去思考的，什么呢？这个问题我论证了B选项是正确的，那A选项肯定就不对了。各位同学能回去想一想A、C、D能不能找到实实在在的反例。

　　主持人：如果从这个角度来看的话，按照这个论证已经能证出B是对的了，是不是A它错的就比较明显了，因为我看它只是符号上有一个变化。

　　问延炜：对。在考场上的话就没有什么好说的，平时练习要想完全透彻理解这个问题，找找反例。，不仅如此，其实我可以剧透一下，就是这个a的范围是在b和2b之间，a小于2b，它还大于b，论证方式完全一样。而且同学们还可以思考一件事情，你能不能把咱们构造的这个函数，你能不能把这个函数的草图画出来，画出来之后你去想一件事情，就是这个函数f（x）跟指数指函数y=2a，跟对数对函数y=log2a的对数，这三个图象放在一起，你看你能发现什么？然后我们说a介于b和2b之间，什么时候a会趋近于2b，什么时候a会趋近于b。我再给一个提示，对勾函数赫赫有名，各位同学肯定都知道y=x+1/x，对勾函数为什么叫对勾函数？对

　　主持人：因为函数的图案长得像对勾。

　　问延炜：其实它的图像图象从几何角度来讲是双曲线，当然这个超出高中教学的要求了，提一句，有兴趣的同学可以深入思考一下。

　　主持人：可以再研究一下，问老师不愧是学而思网校的名师，这从一道题看到一百道题，真的是非常的厉害。

　　问延炜：各位学可以想一件事情，你有没有观察过，y=x+1/x，什么时候它的图像图象比较接近于y=x，什么时候它的图像图象比较接近于y=1/x，我说明白了吗？就是咱们这个f（x）是指数+对数，对勾函数是f（x）=x+1/x，也是两部分相加。那什么时候贴近这一部分，什么时候贴近那一部分？考场上你不用想那么多，你想那么多的话，这个题就做不完了。但是平时练习，练内功，这些事情你都可以想。第一部分函数思想的应用咱们聊到这儿。我发现这些问题，就考查同学们，就是它没有明说“函数”两个字，但是就考验大家能不能看到函数，能不能应用函数。

　　主持人：考的都是函数那些事。

　　问延炜：两道题，1卷和2卷在我看来这两道题本质是一样的。

　　主持人：我以后要再遇到这种题，我要是想不出来怎么解，就直接按照函数的方法去试一试，试一试也许没错的。我们看一看下面的部分。

　　问延炜：好，我们看第二部分。第一部分开胃菜，难度还不算太大，第二部分我们增加一点难度。

　　主持人：还有难的呢？

　　问延炜：我们看圆锥曲线。

　　主持人：圆锥曲线这是我当年最头疼的部分。

　　问延炜：计算量比较大。

　　主持人：对，计算量特别大，我又粗心，一个步骤错，步步都错，最后一整道大题全都丢分了，特别惨。

　　问延炜：圆锥曲线得靠算，但是得巧算，但是不能蛮算。咱们还是由易到难，这是2卷的倒数第3题。

　　主持人：全国2卷的倒数第3题。

　　问延炜：对，可能就不是那么的难。原题没有图，为了我方便同学们思考，去想我把图直接画出来了，题目估计各位同学事先已经看过了，就是椭圆、抛物线，椭圆的右焦点角点F就是抛物线的焦点角点，然后过F有这么一条竖直直线，4个交点角点ABCDE，然后有一个关键条件叫做CD=4/3AB。咱们现在解决第一问，我们来看这个解答步骤。第一问中挺关键的一个细节就是在第一行右半部分，各位同学有没有看到？有一个叫做抛物线和椭圆的通径长公式。

　　主持人：通径长公式，这是一个什么呢？

　　问延炜：这是有一定拓展性的。我以它为例说明一件什么事情？我想从三个方面来说，第一方面如果你看出来这跟通径长公式有关，后面的思路你就顺风顺水，这是第一个。第二个最好不要像我这样直接往上写，有所谓跳步之嫌。

　　主持人：对，步骤分不能落。

　　问延炜：对，第三个就是我们所说的不要蛮算，要巧算。你如果清楚这跟通径有关系，你稍微推一推，把你知道的结果写出来，那考场上就会轻松不少，这是第一问的结果。第二问这个关键的一步是什么呢？我们来看是在屏幕第三行靠右边的那个地方MF=5，各位朋友有没有看到？这个MF=5我们要注意到什么呢？这个就不能蛮算，得巧算。什么叫改巧算？概念，学数学一定要学会概念，什么是抛物线？平面上到焦点和到准线距离要相等，这是抛物线定义所决定的。平面上到一个定点和一条定直线，距离相等的点的集合相点的积和，当然它不能是点在线上。你抓住这个定义一，你把M、F，它是斜着的，你把它转化成到准线的距离，它横着的，是不是就好算了？这就是我们刚才提到的解析几何、圆锥曲线你得算，但是你得巧算，不能蛮算。这样想的话，题目就没有那么难了。下面这个例子咱们就接着看。

　　主持人：这是全国1卷的倒数第2题。

　　问延炜：对，因为位置不一样，刚才看的是倒数第3题，这是倒数第2题，越靠后难度越大，所以这个题比和刚才那个题稍微复杂一点。原题没有图，我为了方便朋友们理解，我把这个图也已经附上了。题目相信各位朋友事先已经看过，那我们就不在这个地方花时间了，我们接着来看第二问。敦煌东煌，你觉得第二问如果要写的话几行能写完？

　　主持人：证明直线CD过定点。对于我来说，证明题如果想完全不丢分的情况下，写完这道题这张卷子我得写一半。

　　问延炜：敦煌东煌，当年你做这种题大概要花多长时间？

　　主持人：如果真的是放在倒数第2题这么重要一个位置上的最后一小问，还是一道证明小题的话，我估计十几二十分钟起码得，得好长时间。

　　问延炜：那就已经非常不错了，很多同学半个小时还做不完。这个题我重点说一说，看看问老师给出的解答就这么几行，我写完了，答案是（3/2，0），我做这个题的时候10秒钟之内，毫不夸张。这个题有几个细节我跟大家说一下，首先我说一下这个题解决的步骤，这是一个常用的模型，什么模型呢？我们看一眼，这是一个自配极三角形的模型，将这个定理应用到咱们全国1卷倒数第2题的解答当中思路是什么呢？A、B、C、D是圆锥曲线上的4个点，AB和CD的交点角点我设成说成M，图中没有画，各位朋友可以自己标一下，AB、CD交点角点我设成M，AC、BD的交点角点我设成P，P和M关于这个椭圆共轭，那么M点所对应的极线极限，P点就应该在上面，而M点所对应的极线极限是谁呢？是Xx=9/m，P在哪条线上呢？在Xx=6上，因此9/mM=6，算出m=3/2，就可以得到直线AB和直线CD的交点，大M那个点是定点，坐标是（3/2，0）。这里运用了比较多的射影几何的知识。敦煌东煌，当年你上学的时候这些东西应该接触的少。

　　主持人：一方面是比较少，另一方面我现在离高考那会儿太久远了，现在看见椭圆形我就只能记着高考里面有它，至于再到具体的，真是记不清楚了。

　　问延炜：即使当年学的很好，现在时间一长，可能也生疏了。

　　主持人：当年那会儿，上知天文，下知地理，人生当中可能最有文化水平的那一两年可能都交代在18岁的青春里了。

　　问延炜：敦煌东煌是习惯性谦虚。

　　主持人：没有，没有。其实仔细再一看的话，不管题目有多难，对于数学题来讲只要掌握了解题的思路它可能在解答的过程当中就会变得迎刃而解，相反如果要是我这个思路并不是很透彻，我需要一条、一条路去试的话，它的时间反而会用的更长，这也有可能会出现往年这些考生他们经常会说，说我算了半个小时，算出来那个答案ABCD四个选项里一个是都没有，就经常出现这种尴尬的事。

　　问延炜：对，这个就很影响心态。

　　当然我相信镜头前肯定会有很多同学说，问老师，这个东西好像高中课本上没有，是不是所谓拓展内容？是的，当然是这样。关于这一点我想说这么大概几条：

　　其一，，这些东西同学们可以不会，但是作为一名老师我们备课的时候要会，至于说以什么样的形式给各位同学呈现，那这就是老师备课时要思考的事情，这就是一碗水和一桶水之间的联系。

　　其二，如果学有余力的同学，如果有同学知道这些内容，在考场上要注意了，一是不要把这个东西写在答题纸上，这个有点过分了，你要做的是用少则十秒多则三十秒的时间，你知道这个题的答案了，， 你知道这个题的答案，你再去写常规步骤，该怎么写怎么写，你知道是这个结果再去写步骤，是不是比别的同学要有把握一些。

　　主持人：胸有成竹的写肯定比心里没底的写来得快，稳准狠。

　　问延炜：的确是这样和。所以，镜头前的各位同学请大家把剩余的步骤补全，就是常规解法，我写的这几行适合在草稿纸上演算，时间不要长，我是十秒内，希望各位同学做到三十秒内。

　　可能有同学问，这些内容能不能学会，这一点坦率地说不是特别容易，像这些射影几何的内容对老师的要求高，对同学的要求也高。我在学而思网校试着给同学们讲过几年了，如果基本功不是特别扎实的同学，这个东西就不要管它，容易走火入魔；，学有余力的同学，学得比较好的同学可以适当的了解了解，事实证明，大家如果真的能够透彻理解这些内容，对于解题是有帮助的。

　　像昨天考试之后，我刚才举的这个例子是全国一卷倒数第二题，事实上这种有射影几何背景的问题，我们以2020年为例，今年北京的倒数第二题有射影几何背景，今年山东的新高考一卷，山东是新高考嘛，其实北京也是新高考，只是北京一向是单独命题的，山东的最后一题和北京的倒数第二题，全国一卷倒数第二题都有射影几何的背景。

　　主持人：这个并不是一个个例了。

　　问延炜：不是，很多解析几何的问题都有射影几何的背景，今天一开始我们就说要做一些背景介绍，我们要让各位同学看一看，老师的一桶水体现在什么地方，老师备课的时候想哪些事情，这些都是要给各位同学呈现的。，昨天我接到了很多同学的消息，有北京的，有山东的，还有考全国一卷的像广东、河南的，全国各地的同学都有，很开心，纷纷向我报喜，迅速得出了结果，写常规步骤的时候也能顺利完成，恭喜这些同学，也希望镜头前更多的同学在如果学有余力的前提下能够多了解一点，艺多不压身。

　　主持人：确实是，但是要是像我了解了这些比较多的知识点，我有可能在考的时候看到这些题，我看着又像射影几何又像别的东西我觉得这些东西都能用在这上面，反而自乱阵脚了。

　　问延炜：对，这是一个常见问题，所以我们教材上不介绍它也是有原因的。

　　主持人：对，就怕同学们把什么都当成射影几何。

　　问延炜：对，内功不扎实，会走火入魔。这个是额外介绍一下，各位同学，你们可以不会，老师必须得会，老师还要想着怎样以同学容易接受的方式把它呈现出来。

　　主持人：用常规的步骤方式表达出来，虽然您的答案是对的，但如果让同学们像您刚才上面两行解就把这个题的答案解出来了，那在考试的时候只能拿一个结果分，步骤分就全丢了，得不偿失。

　　问延炜：那不行，所以老师备课这些事情都是要做的。圆锥曲线我们就聊这么多。

　　主持人：问老师，我突然发现圆锥曲线这两道题，一道是倒数第二题，一道是倒数第三题，倒数第三题我们每年的压轴大题是什么题呢？

　　问延炜：总体来看是导数居多，具体到今年，最后一题都是导数题，咱们一道一道看吧，一卷、二卷、三卷挨个看一遍。

　　主持人：我们看一下导数题。

　　问延炜：难度更大，小马扎坐稳了，前方高能。

　　第三部分压轴题之是导数。现在呈现的是1卷最后一题，这个题没有什么好说了，屏幕上我已经把第一问的过程和结果呈现出来了。

　　主持人：这是讨论单调性的问题。

　　问延炜：求导，这个是比较基本的，基本功过关的同学第一问应该不会丢分。

　　我们重点聊一聊第二问。第二问当f（x）大于等于0的时候，我们说左边的f（x）比右边要大，我们求a的取值范围。这个题不知道有没有同学试过端点分析这个招，端点分析这个招也有一些拓展成分在里面，并且用端点分析的招数理论上得到的是必要非充分条件，可以有效缩小考虑的范围，但是并不能确定这就是最终答案。

　　事实上，在往年很多高考题里跟它同类型的问题，端点分析之后得到的必要条件，同时也能论证出它的充分性，问题就解决了；，但这个题不是，毕竟是最后一题，有难度。

　　主持人：对，最后一题还是最后一问。

　　问延炜：对，确实有难度。这个问题可以尝试用端点分析来得出必要条件，那个必要条件确实不充分。

　　这个题，换句话说端点分析必要条件失效了，怎么办？分离变量。我在讲课的时候一直跟同学们说，端点分析能奏效就不要分离变量，端点分析不能奏效就考虑来试试分离变量，我们来试一试。

　　现在屏幕上呈现的是问老师解这道题的过程。其中x=0，单独考虑，这不要忘，Xx>0的时候，把分母Xx2（恒正）的平方它横证了，给它除过去，我们得到了a大于等于的那样一个分式，这就达到了参变分离的目的，a跟x分开了，当时我看到分离以后的那个式子，我的第一感觉是如果分子上是x3/21/2x的三次方加上+x+1-ex 1的四次方，如果那个x3方是x2，的平方这个题我就灭了，为什么这么说呢？各位同学看一下屏幕最下方有一个注记，那是什么鬼？那是ex 1的x四次方的麦克劳林级数，你在大学的时候应该接触过这个东西的。

　　主持人：我的大学是艺术类，可能没接触过，但我在我的同学课本上看见过，这个感叹号。

　　问延炜：基本上各位同学上了大学以后大概率会接触到这个东西的，我在讲课的时候也给学生们介绍过这个东西，你看ex 1的x4次幂等于1+x+x2/2+…，2分之x的平方，前三项那个2r的阶乘就是2r。

　　主持人：对，这个东西叫做阶乘。

　　问延炜：那个不是感叹号，学数学不用情感充沛，学数学就像我这样，心平气和，多愁善感，林黛玉那样的性格就可以了。

　　主持人：顺便再加上数学知识非常丰富。

　　问延炜：不用情感充沛，所以感叹号在数学里没有用，就作为阶乘来使用了。

　　你看现在x是大于0的，你再看最底下那个注记，ex 1的x4次幂，它的麦克劳林级数，当时我的想法是，那个分子上三次方的地方，1/2x三方x3/2的地方，如果是x2/2，1/2x的平方这个正负就已经定了，这个题就解决了。，但没有这么容易，毕竟是最后一题最后一问。，三次方怎么办？继续求导。我们把右边构造出一个函数g（x），对g（x）求导，分母不用多说，分子有两个关键，第一个关键是分解因式，这个题如果你不能提出公因式2-x恐怕很难办，这个是考验基本功。

　　第二个是2-x后面乘的是ex 1-x4次幂- x2/21/2x平方-x-1，于是下一行叫做“我们熟知”当Xx>0的时候，ex 1-x4次幂> x2/2+x1/2x平方+1，一是我真的熟知，二是看看最底下那个注记，麦克劳林级数，当x>0的时候，你把剩余项扔掉，左边ex 1-x4次幂，当然比右边前三项1+x+ x2/21/2的4次方要大。三是考场上要证，这个你不能写你熟知。

　　主持人：老师不熟知，老师觉得你不熟知。

　　问延炜：老师也熟知，但老师这里会给你扣一点步骤分。

　　主持人：规则上不允许，咱们还是稳扎稳打的挣一下。

　　问延炜：有扣分的风险，这个一开始就说了，我说要点和思路，细节还是留给各位同学回去补充完，全都被我讲完了，同学们就没有发挥的空间和余地，那你肯定很不开心，同学们肯定跃跃欲试，自己试出来是最开心的。

　　那么考场上呢，1-x4次幂ex >1+x+x2/21/2的x四次方+1那一步怎么办？构造函数求导论证都是常规基本操作，然后这个题就可以解决了。

　　这么一看这最后一题最后一问好像也没有那么难，还是概念要过关，思维能力要多锻炼，高考它不会考你那些偏难怪题，都是在考察核心素养。

　　主持人：其实这一个小问的含金量可能超过普通的三个小问，刚一上来要先用到一个先要做出第一步，第二步要二次求导，还要用到现在需要同学们稍要多加考虑的级数的问题，这一问里面有很多的知识点，任意一步可能想错了或者想漏了都达不到最后的结果和答案。

　　问延炜：是，你看每一步没有那么难，但是关卡一多难度就上来了。

　　主持人：现在有您帮我们冲冲关，可能乍一看就会觉得这道题蛮简单的，但实际上真的要心思非常细腻才可以。

　　问延炜：是，所以看人挑担不吃力，看着好像轻松一点，但真正自己真上手做还是有挑战性，不过也不奇怪，毕竟是最后一题最后一问。

　　主持人：没错，这个真的看你是对数学是怎样的一个理解，毕竟每年最后一道题做出来的和没做出来的，最后数学的总分上会有非常大的差别。

　　问延炜：是，所以镜头前的同学你要是觉得这个题难度大一点，你多练一练，这种题本来就是给学霸做的，哦对，敦煌东煌你就是学霸，当年高考数学你是150分吧？

　　主持人：这都是过去的事了。

　　问延炜：太厉害了，敦煌东煌就是满分选手。

　　主持人：我那一年还挺巧，文科数学最后一题还是考的导数，往年它可能图形题稍微多一些，但是我这一届又是导数，又是概率，又是图形题，又是表格题，还有一个流程图题，不知道您有没有印象。当年正好赶上我那一届是流程图题，在选择题里面，它是一个流程表，满足一个条件的时候走这边，没满足继续走那边，它有这样一个流程，需要一遍遍算。其实那道题本身没有多大的难度，谁都能算出来，如果没有掌握方法的同学有可能拿一张草稿纸，不是每年都会发A4草稿纸嘛，死算，一个一个的从1、2、3、4一个个算，我记得好像是算到9的时候他就可以解出来了，但实际上一旦你掌握了数学的方法，我记得当时是列了一个公式，函数的一个公式立刻这个答案就浮现出来了，实际上它那个流程图就是一个方程式的图像图象化的表现和程序化的表现，所以对于数学来讲，可能方式方法要比那些死算硬算更加重要。

　　问延炜：没错。敦煌东煌这个理解非常到位，难怪是满分选手。

　　问延炜主持人：理解到位，现在看着这个阶乘我也只能感叹一句了。

　　问延炜主持人：多练一练，跟着我再练半个月，又能恢复满分状态。

　　主持人：回去就去学而思网校再报您一堂课。我们再看看下一道题。

　　问延炜：二卷最后一题。

　　主持人：二卷也是最后一题，这道题有三问了。

　　问延炜：其中第一小问第二小问我们就略去了，方法非常多。每次一说到小问，我就总觉得我在cueQ自己，你知道吧。我这个姓比较少见，我姓问，我年轻的时候他们都叫我小问，现在不行了，现在他们都叫我帅哥。

　　主持人：年轻的时候也可以叫，叫小帅哥。小问，正好头两个都是您了，小问嘛，是不是。

　　问延炜：前两个小问我们略去，留给各位同学作为思考，没有那么困难，你您一个一个做就行了。

　　主持人：还是一个单调性的问题，还有一个证明它这样一个问题。

　　问延炜：其实我们都学过均值不等式，不过课本上的均值不等式是以二元为主，两个量，它可以推广到一般情形。二元的均值不等式可以推广到nN元均值不等式的，这个题第二问如果你用一下四元的均值不等式可以更快的解决，不用求导，不按照出题人的剧本来也是可以的。

　　当然四元均值不等式是有一定的拓展成分在里面的，高考是不要求掌握的，所以我们不展开说，各位同学了解一下，有兴趣尝试尝试，没有兴趣我们就第一问、第二问依次做，没问题。俗话说得好，世界上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，更没有无缘无故的第一小问、第二小问，前面的题总是为后面的题服务，总是为它做铺垫的。

　　下面我们重点来看看这个第三问，我们刚才讲前面的题为后面的题服务，出题人的想法就是一个难题我怎么给你搭梯子，最终出题人是想考第三题的结果，但是直接把这个结果让同学们去论证，这个有点过分。

　　主持人：太难。

　　问延炜：太难，想不到。所以出题人给大家搭了梯子，也是给同学们多得分的了机会：，你第一问总能做出来吧，总能得点分吧；，加加油，争取争取，把第二问解决。，前两问解决之后你再看看，题干、第一问、第二问对于第三问有什么提示性的作用。你看第二问之后论证了什么？论证了f（x）的绝对值不会超过 /8对不对？f（x）是sin x的平方乘以sin 22x，对吗？

　　主持人：对。

　　问延炜：我们再看第三问要论证的那个式子，有没有看到第一项是sin x的平方。第二项里面拿出一个sin 2x给它，对吧，当然你拿走一个之后，这后面的次数有点对不齐了，所以是最后一题最后一问。有没有想过如果把那个二次改成三次，我们把次数2都改成3之后，改成3之后Sin x拿2次和后面sin 2x拿出一项，它俩配一下不就是f（x）吗？

　　主持人：那就刚好。

　　问延炜：那就和f（x）联系起来了。再后边sin 2x 的平方你再给它一个sin 4x，它俩凑一块是不是就是f（2x），就是法则f作用在2x上的结果，根据第二题的结果，它照样不超过 /8，你这个 /8跟第三问要证式子的右边3/4的nN次幂不也有关系吗？你这么一想，这个题的思路是不是就已经呼之欲出了，再把细节补全。

　　主持人：这个挺长。

　　问延炜：是挺长，猛一看上去非常具有视觉冲击力，这么一大篇，简直都不想看下去，你使劲看。其实我解释解释，你把这个要点看懂，剩下来都是的体力劳动，把细节写清楚就行了，别丢分。

　　首先列出来的那些式子就是刚才我们说的f（x），f（2x），f（4x），你让法则作用在x上，作用在2x上，作用在4x上，一直到作用在2nx的n解一次方乘x4上面，你得到那么一大串，那一大串乘起来之后，就和再稍微做个变形，就和最终最重要的结果已经非常接近了。咱们看这应该是从上往下倒数第四行，倒数第四行那个右边已经出现3/4的n次幂了，各位同学有没有看到？然后你看看它的左边，左边一头一尾距离咱们的目标还有点距离，但是中间都已经凑齐了，怎么办？倒数第三行做一个放缩，放缩完了以后倒数第二行一击致命，最后命题得证，结束。

　　注意前面的题为后面的题服务，你要善于思考，善于发现前面的题和后面的题之间的联系，你要知道出题人出了三问，是在一层一层给你搭梯子，你要攀着这个梯子往上爬，不要直接往上蹦，给你个梯子不能不用。

　　主持人：所以第一问第二问是在给第三问理清思路的。

　　问延炜：对，的确是这样。

　　主持人：第二问其实在我的视角上看给的更加明显一点，再结合了f（x）具体的式子的结构和第三问产生一个关联的联想，可能更加容易得到一些答案。

　　其实我发现像问老师您从头到尾讲了这么多题下来，我发现真的是往往数学尤其是大题，最重要的你要在可能很多的文字和数据当中看到它想要让你用什么方法去做。

　　问延炜：没错，要提取关键信息。

　　主持人：对，一定要提取关键信息，有了关键信息一下子能够得出结果，顺着推把步骤补齐，这个方法对同学们来讲更加顺利一些，心里更加有把握，尤其是这道题前两问，像有些同学基础比较好的同学，或者说做对了，第三问即使做不全，他也能有一些眉目。

　　问延炜：是，没错。第三问客观来讲确实有些步骤不是很好想，咱们想到多少写多少，多得一点步骤分。

　　主持人：没错，也是要提醒坐在屏幕对面的这些同学们，尤其是在做大题，第一问和第二问看似简单，千万别粗心大意，万一一个小项算错，第三问即使你有思路，你可能都得不出解，这个太要命了，数学就是一个关联性的学科。

　　问延炜：对，环环相扣，哪步都不能踏空，下一步得不到，得到上一步也很好，考场上多得分。

　　主持人：对，每一步骤都有它存在的意义和价值。

　　问延炜：没有不会无缘无故的，第一小问、第二小问。

　　主持人：对，尤其是最后一道大题，我看最后一道大题我真是心里头千思百绪的。我记得我当年的最后一道大题特别巧，以前我做最后一道大题的最后一小问，我基本就觉得那个不是给我准备的，那个可能是给那些学霸们准备的。

　　问延炜：你也是学霸嘛。

　　主持人：那一年刚巧是什么呢？我老师在三模之后有一个学校内部的小测验，在小测验完了之后，他在讲题的时候也是提到了一些稍微有一点点拓展性的题，当时他也没要求我们一定要记住，我平时比较喜欢那些稀奇古怪的东西，下了课我就去找老师研究了，他也简单给我讲了讲，正好那年高考的时候刚好用到这个思路。其实就跟您给学而思网校您的这些同学们讲课的时候，跟这些同学们提到了刚才圆锥曲线里面有一些拓展性内容其实是一个道理，真的记下来的话，最后一道题真的迎刃而解。

　　问延炜：敦煌东煌，你们数学老师真是太棒了，好老师，好学生，出好成绩

　　主持人：我现在每年教师节还回去看他。

　　问延炜：是，这真得看一看。

　　主持人：导数题一如既往的难。

　　问延炜：是，不容易。

　　主持人：我们后面的导数题是3卷最后一题，我们现在赶紧看看三卷吧。

　　问延炜：好的。全国3卷也是最后一题，第一问比较容易，咱们直接给结果，b=-负3/4。它也是给第二问提供一点帮助，就是说你接下来在解第二问的时候，f（x）这个函数解析式里面只有c一个参数，b已经解出来了。第二问它要我们论证，假如f（x）有一个绝对值不大于1的零点，你去证它所有的零点，这个零点肯定是存在的，已经有一个了嘛，对不对。你只要有那么一个绝对值不大于1的零点，我们要证所有零点的绝对值都不大于1。

　　主持人：所以只要有一个，它这个就是不行的。

　　问延炜：嗯。这个问题我从这几个角度来说。第一个角度如果你不去看那个c，或者说你先设c=0，这个时候f（x）就是x3-3/4x，三次函数嘛。

　　主持人：没错。

　　问延炜：对于三次函数，咱们应该有一些基本了解，就是x3-3/4x，这是三次函数，奇函数，对称对证中心是原点圆点。。然后加上c，相当于是上下平移，事实上这个问题从图像图象直观上看，是很明显能看出这个结论，没问题，正确，但是如何论证？看你的函数思想能不能炉火纯青，能不能应用纯熟了。

　　我们来看第二问，首先把问题做一个转化，这一步我们前面也提到过，叫参变分离，你把这个f（x）=0做一点变形，它就等价于-负4c=4x3-3x，我把分母也去掉了，就等于这个式子数要成立。那么接下来，我们假设x1就是题目中提到的那个绝对值不超过1的零点，我们就会有-负4c=4x3-3x这么一个式子。那么再接下来关键一步是得到负-4Cc在负-1到1之间，所以c在负-1/4到1/4之间。那怎么得到这一步呢？比较常规的一个想法，我这上面没有写，比较常规的想法当然是构造函数g（x）=4x3-3x，求导论证，这是比较常规的步骤，当然在这个常规步骤里面你注意到g（x）的奇偶性，注意到g（x）的单调性，会有助于问题的解决。那么我在这里采用另外一种方式，我们今天不是说嘛，我们得让各位同学看一看老师在面对一个问题的时候会想到哪些事情，这些事情问老师未必跟各位同学全都说，即使说，问老师也会想换一种什么样的形式让各位同学易于接受，那是后面的事情。

　　那么我自己在想这个问题的时候，我首先注意到这个跟余弦三倍角公式有关，这如果又是有点拓展性的内容了，不过在这个问题里面确实能够发挥作用。如果你能注意到余弦的三倍角公式，你会比较轻松得到这个问题的关键就是负-4c它会在负-1到1之间，这一步一旦得到，后面就顺风顺水了。当然了，在后续论证过程当中，三次多项式的因式分解，各位同学有没有看到？就是后半部分，后半部分你做一个转化，两个不等式，那两个不等式都是三次的，三次的怎么办？你因式分解，因式分解之后这个问题也就做完了。一个问题如何转化，看你的基本功。比如说因式分解，你要想高考取得一个比较理想的成绩，这样的基本功你是不能落下的。还有你看我中间做了多次的转化，原来那个问题听着很费解，不好处理，怎么样合理转化，什么叫合理？好处理，能推进到下一步，这叫合理。

　　主持人：对。

　　问延炜：当然了，这个故事还没有讲完，其中有那么一步叫做余弦的三倍角公式，我分三点来说。第一不用行不行？行，我刚才说了，就构造函数求导，常规操作可以解决，考场上推荐这么做，这是其一。其二，你注意到余弦三倍角可以解决的更容易一点，当然还是那句话，这个余弦三倍角属于拓展内容了。其三其实这个背后还有秘密，叫什么呢？叫切比雪夫多项式。这个题有没有更多的背景？怎么一下子想到了余弦三倍角公式，这个跟切比雪夫多项式是有关系的。什么是切比雪夫多项式？请看这个定义9，切比雪夫多项式对于多项式理论来说，是非常有用的一个不等式一步等式，具体体现在定理10，当然了，比较艰深，我们也不打算展开来说，这个有点超出高中的知识太有点多了。

　　主持人：主要是怕同学们像刚才似的，看见什么导数题都想往这上头套一套。

　　问延炜：那不行，那就走火入魔了。

　　主持人：对，那个容易走怪路，走弯路。

　　问延炜：是。其实说真的，全国3卷最后一题我相信做出来的同学不在少数，做出来的同学都是看到了它的背景切比雪夫多项式吗？我看未必。什么意思呢，咱们各位同学在考场上不是说非得知道这些奇奇怪怪的东西才能做题，不是的。但还是那句话，老师得有一桶水，得比教给同学的一碗水要多。你看，除了出了一碗水之外，老师的这一桶水里面还有哪些东西，我们今天是要做一个呈现的。事实上，咱们今年的高考题我们看了不少，事实上我们最后谈到的这个切比雪夫多项式，还有它在这个多项式逼近递进理论中的应用，以这件事情为背景的高考题其实还有很多的。

　　主持人：就是历史上出现过不少这样的高考题。

　　问延炜：有。我们来看一看，当然我们就不详细讲了，咱们今天重点讨论的是今年的高考题。之前今天问老师没有给大家送礼物，现在这个礼物不就来了嘛，给各位同学几道好题，可以去想一想。比如说题目11，这是2016年天津卷最后一题，你有没有觉得这个题跟咱们刚才看到的全国3卷最后一题非常像呢？

　　主持人：还真是有一点。

　　问延炜：他山之石可以攻玉嘛，事实上咱们今天聊的主题比较硬核，题目难度都比较大。

　　主持人：没错，都是压轴题。

　　问延炜：那些那是简单一点的，那些网红题，咱们今天时间所限没有展开聊。事实上，如果要说一说的话，我就提一句，比如说今年全国2卷有一个“天坛”天坛题。

　　主持人：数砖头。

　　问延炜：那个天坛题其实在2019年北京市朝阳区高三年级一模第13题，就是填空倒数第2题就考过，他山之石可以攻玉，题目和题目之间有时候还是有相似之处的。

　　主持人：有联系的。

　　问延炜：你看2016年天津卷最后一题，当然你这个得认真看、认真想。

　　主持人：感兴趣的同学现在可以给大家一段时间截一下屏，上面一共有3道题，都是用到了拓展内容的切比雪夫多项式。

　　问延炜：解的时候其实用不着，但是背后的背景都和切比雪夫多项式有关。

　　主持人：对，没错。

　　问延炜：当然还是那句话，对于考生来说不是说非得知道这个才能做，我不知道就做不了，没有那么邪乎，不要走火入魔。

　　主持人：对，没错。虽然说这些题目可能会用到一些拓展性的内容，但实际上我即使不知道这个内容，我用常规的思路和方法是可以解的。

　　问延炜：完全正确。

　　主持人：只不过因为像您是老师，您就需要比其他同学在思路方面可能需要多一些不同思路，这样的话，才能保证起到给同学们开拓视野的这样一些作用。

　　问延炜：那是，的确是这样。老师不比学生强，那怎么能教好学生呢。

　　主持人：不如回家种土豆。

　　问延炜：是。你看题目12，2010年江苏，这一年的题目很有名的，赫赫有名的葛军教授出的题，网上流传很多，说这份试卷是葛军教授出的、，那份试卷是葛军教授出的，人家辟过谣，就2010年江苏卷这个真的是葛军教授出的，其他的都是谣言。

　　主持人：你看葛教授出的跟一般的高考题都不一样，一般的高考题上面f（x）、导数，符号字母特别多，葛教授出的非常简洁明了，但是我觉得越是这种简洁明了的题，有的时候越不好下手。

　　问延炜：嗯，而且越品越有味道，这个问题它的背景就是刚才我们提到的切比雪夫多项式，事实上他山之石可以攻玉，我们再看看日本的石头，这么说也不太合适。我们再看题目13，是1996年日本京都大学入学考试题，它跟题目12其实是很像的，非常类似。

　　主持人：日本同胞在数学方面，因为数学是共通的，但是我感觉它这个解题方式上是不是跟咱们中国的这些考题还是有一些出入的？

　　问延炜：会有一定的差别，这个有时间咱们就单开一个专题，可以专门聊一聊。

　　主持人：我刚才扫了一眼，一看京都大学，我还愣了一下，我说中国有这个大学吗？京都大学是日本的，果然是日本的。

　　问延炜：对，是日本的入学考试题。

　　主持人：问老师真是细心，连日本的考题都给我们准备到了，这个也算是日本高考了，虽然说他们是按学校录取，形式上跟咱们不太一样。

　　问延炜：是。

　　主持人：那今天咱们的题目就差不多了。问老师您对于现在即将步入高三的我们这些高二的学子有没有什么好的建议或者一些期望呢？

　　问延炜：我想大概这么几点。第一学数学还是要把概念一定要掌握清楚，然后解题的时候不要光顾着背公式，得知道问题的来龙去脉，培养能力这是关键。像现在的高考题，非常符合教育部考试中心提出的“一核四翼四层”的原则，这个“一核四翼四层”我们不展开说了，各位同学你可以去了解一下，可以去搜一搜，这是命题原则，没有什么偏难怪题，但就是在考查本质概念，它形式千变万化，五育并举，什么叫五育并举？德智体美劳，在数学考试里面也都要有所呈现，它得联系社会实际、，时事实事热点，它有文字非常长的那种应用性的问题，它有联系中国传统文化的问题，都有，一份好的试卷就应该是有这些东西。但是你放心，核心的考点还是数学素养、数学能力，还是我们刚才提到的“一核四翼四层”，还是这些，这就是我要告诉各位同学将来在复习备考的时候要注意的事项。

　　主持人：其实就是说还是建议同学们多多从思路上面去着手，去抓一些解题的思路，感兴趣的同学多了解一些拓展性的背景，可能对于解这些压轴题、大题，有的时候会有出其不意的效果，出奇制胜，是不是？

　　问延炜：对，基础得打好，一份试卷嘛，咱们今天看的压轴题多一点，咱们今天的主题就是想看一下硬核的题，怕同学们睡着了。

　　主持人：大浪淘沙把我都给拍晕了，我看怎么没一道题，我说我当年考了个假高考吗？原来都是压轴题，那我就放心多了。

　　问延炜：所以各位同学一定要练好基本功。

　　主持人：对，没错。

　　问延炜：咱们今天基础题没怎么看，不过一份试卷上最多的还是基础题，你的基本功扎实，基础题的分数拿到手，这个分就不会低，而且基本功扎实对于你解困难一些的问题也是有帮助的，没有基础你这个难题从何而起？

　　主持人：万丈高楼平地起，不能拣了西瓜丢了芝麻，是不是？

　　问延炜：我怎么觉得是反的。

　　主持人：不能为了拣西瓜而丢芝麻。

　　问延炜：非常机智。

　　主持人：我刚才看这些导数图，圆锥曲线，弄的我现在汗都淌下来了，我仿佛找到了当年被数学支配的那种感觉。

　　问延炜：大脑CPU高速运转。

　　主持人：对。刚刚问老师对各位即将步入高三的学子们，包括现在对于数学有一些困惑的同学们的一些忠告和建议。今天我们晚上的直播就到此结束，“学而思网校，每天进步一点点”。感谢问老师的精彩解读，欢迎大家继续关注新浪教育的《高考直播间》，2020高考报道，第一时间获取高考最新资讯，我们明天再见。