初中数学里面的几何最大值问题如何解

 几何最值问题的解题策略

 几何最值问题是初中数学的重要内容之一,也是中考命题的热点之一,学生往往感到无从下手.这里举例说明求解此类问题的策略,供同学们参考。

 一、利用对称点求最值的策略

 基本伺题 要在小河边修建一个自来水

 厂,向村庄A、B提供用水(如图1),村庄A、B在小河的同侧,自来水厂应建在什么位置,才能使它到A、B距离之和最短?达到节约水管的目的.

 作法 把小河岸看成直线l,找出点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点C,则点C就是要找的建自来水厂地方.这时AC+BC最短(证明略).

 证明 在直线l上任取异于点C的一点D,连接AD、A'D、BD.由对称的性质得

 AC=A'C,AD=A'D.

 则AC+BC=A'C+BC=A'B,[来源:学_科_网]

 AD+BD=A'D+BD.

 由“两点之间,线段最短”知

 A'B< A'D+BD.[来源:Z§xx§k.Com]

 所以此时AC+BC最短.

 这是学习对称时的常见的一个题目,关于它的应用问题很多.

 例1 如图2.四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°.在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )

 (A)130°(B) 120°

 (C)110° (D)100°

 分析与解 此题符合基本问题模型.根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,

 让三角形的三边在同一直线上,作出点A关于BC和CD的对称点A'、A",则A'A"的长就是△AMN周长的最小值(请读者自己完成作图).此时∠AA'M+∠A"=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A"),即可得出答案.

 例2 如图3.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3.OB=4.点D为边OB的中点.若点E、F为边OA上的两个动点(点E在点F的左边),且EF=2.四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标,并求出四边形CDEF周长的最小值.

 分析与解 如图3.作点D关于x轴的对称点D',把点D'沿x轴正方向平移到D",使D'D"=EF=2.连结CD"与OA的交点即为所求的点F.圆为D'D"∥EF且D'D"=EF,既以四边形ED'D"F为平行四边形.由轴对称与平行四边形的性质,可得

 DE+CF=D'E+CF=D"F+CF=CD",[来源:Z§xx§k.Com]

 根据“两点之间线段最短”,可知DE+CF的和最小.

 ∵D(0.2),∴D'(0.-2),

 ∴D"(2.-2),又C(3.4),

 ∴直线CD”的解析式为

 y=6x-14.

 ∴F(,0),∴E(,0)

 ∵DE+CF=CD"

 ∴四边形CDEF周长的最小值为

 点评 要使四边形CDEF的周长最小,由于CD和EF的长度为定值,就要使DE+CF的和最小,因此要设法把DE、CF转化到同一直线上.由于两定点C、D在两动点E、F所在直线x轴的同旁,且EF的长度为定值,因此需先作出定点D(或定点C)关于两动点E、F所在直线x轴的对称点D';再平移点D'到点D",使点E、F、D'、D"构成平行四边形;然后根据“两点之间线段最短”,找到动点F所在的位置,从而问题得解.

 二、动点问题中求最值的策略

 非函数型几何运动最值问题是初中数学中不常见的一类问题,近年却频频出现在各地中考试卷中.解决这类问题虽然只涉及几何中最基本的知识,但试题常与其他知识综合,形成背景新颖、创意独特的一类问题.

 例3 如图4.在△ABC中,AB=10.AC=8.BC=6.经过点C且与边AB相切的动圆,与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是( )

 (A)4 (B)4.75 (C)5 (D)4.8

 分析与解 如图4.设动圆的圆心为O,与边AB的切点为D,连结OC、OD,则OD⊥AB.由题设可得∠ACB是直角,因而可得EF是动圆直径,所以EF=OC+OD.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

 由图可知,当C、D、D三点在同一直线上时,OC+OD最短,即EF的值最小,此时CD⊥AB,故CD==4.8.答案选D.

 例4 如图5.∠MON=90°,等边△ABC两顶点A、B分别在OM、ON上运动,AB=2.点C在∠MON内部,求OC的最大值.

 分析与解 取AB的中点D,连结OD、CD,则OD=1/2AB=1.CD=.当C、O、D三点在同一直线上时,OC最大,此时OC=OD+CD=1+.

 这两个题目都是非函数型几何运动最值问题,运动比较抽象,很难找到临界值.要找到运动中不变的量,如果考虑到“两点之间,线段最短”,三点在一条直线的特殊情况,问题也就解决了.

 综上可知,在涉及到求最短距离、最短路线时,首先要想到的是线段公理.若是对称问题,一般是把两点之间的线段最短与轴对称的性质结合起来考虑;若是立体图形,应考虑它的侧面展开图,然后利用线段公理和所学的知识解决问题.

好啦,今天小编的分享的初中数学里面的几何最大值问题如何解就到这里啦,期待大家的反馈哦,要是大家有什么新的发现也可以留言与大家一起分享哦!正所谓“独乐了不如众乐乐”嘛!

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